Voy a hablar de dibujar. Cualquier niño en su infancia
aprende a pintar en un papel figuras, objetos, rayas, círculos y todo lo que su
floreciente imaginación esté maquinando en ese momento. Y también, quizás en
otra fase de aprendizaje más avanzada, utiliza diferentes colores para mejorar sus obras. ¿Y
si se le da al niño un mapa para que coloree los diferentes países? El niño,
encantado, pero, ¿y si se le dan al niño solo cuatro colores diferentes?,
¿podría colorear todos los países de forma que dos países con frontera común
tuvieran diferente color?
Vamos a pensar esta pregunta durante unos momentos. Parece
fácil, ¿verdad?
Algo tan simple que incluso un niño de corta edad podría
hacer en una tarde con cuatro rotuladores, encierra tal grado de dificultad en
demostrarlo que se convirtió, durante muchas décadas, en una conjetura
(afirmación que parece ser cierta pero que no ha podido ser demostrada hasta la
fecha). Incluso un siglo después de su enunciado, la demostración (1976) no está
del todo aceptada porque sin el uso computacional es casi imposible, lo que da
pie a que no se considere una demostración empírica. Por ejemplo, el teorema de
la curva de Jordan es muy difícil de demostrar,
muy extensa esa demostración y con una dificultad extrema (que me lo digan a mí
que lo viví en los últimos años de carrera) pero se pudo hacer en su momento “con papel y
lápiz”, que es de lo que se trata. Con la enorme potencia de cálculo
computacional actual, la demostración de lo que se llama el teorema de los cuatro colores, requiere horas (la demostración inicial
duró 50 días) pero incluso se ha conseguido establecer una prueba “con
papel y lápiz” pero requiere meses y la combinación de complicadas y no del
todo probadas teorías matemáticas. Otra cuestión sería plantear qué es
realmente una demostración...
Otro claro ejemplo del vital uso del ordenador es el teorema
de la clasificación de los grupos simples finitos ya que es imposible su
demostración a mano.
Con el teorema de los cuatro colores tenemos otra dificultad
añadida respecto a otros potentes resultados: el de los cuatro colores “se ve”, es decir,
podemos coger un mapa geográfico, cuatro rotuladores y ponernos ello, no es un
teorema que involucra ideas abstractas o una base matemática muy complicada como,
por ejemplo, el mencionado anteriormente.
Hay que resaltar que no es uno de los 23 problemas de
Hilbert, al igual que otras conjeturas tampoco lo son, aunque podría
considerarse como una parte del problema número 18.
Una rama relativamente moderna de las matemáticas que se
llama teoría de Grafos es la que permite la demostración del teorema de los
cuatro colores. Sin entrar en detalles escabrosos, simplemente decir que un mapamundi
tridimensional, es decir la esfera del globo terráqueo, se puede proyectar en
el plano, en un papel con un mecanismo llamado “proyección estereográfica” para
poder empezar a colorear y que la parte fundamental de la demostración del
teorema se basa en la fórmula de Euler que establece que, en un poliedro, el “número
de caras – número de aristas + número de vértices = 2”. En nuestro caso de
tratar con mapas, la fórmula es “número de regiones – número de líneas frontera
+ número de puntos de encuentro = 2”.
Acabo ya, con estas breves pinceladas, comentando que el teorema de los
cuatro colores involucró a muchos científicos ilustres del siglo XX y, como he
comentado anteriormente, sin la ayuda de los ordenadores no podría haber sido
probado algo tan aparentemente sencillo.
Ahora ya podéis darle a vuestros hijos, sobrinos o nietos,
un mapa y decirles que lo pinten y les dais solo cuatro rotuladores de
diferentes colores. Si os afirman, inocentemente, “con cuatro solo no voy a
poder, dame más colores”, podéis contestarles “apáñatelas con cuatro, que sí se
puede”.
