(1)Supongamos que soy un dragón. Entonces, sé que no tengo
los ojos verdes porque, si lo supiera, me convertiría en un gorrión de cola
larga. A su vez, veo los ojos del resto de dragones de la isla y son todos
verdes pero sé que ellos no lo saben porque si lo supieran entonces se
convertirían en gorriones de cola larga.
(2) El razonamiento de (1) se produce en todos y cada uno
de los dragones que habitan la isla: así, cada cual, sabe con seguridad que no
tiene los ojos verdes pero los demás sí porque los ve pero él no se los ve a sí
mismo, por lo que se deduce que la información dada a los dragones (“al menos
uno de ellos tiene los ojos verdes”) es novedosa, y no tan trivial como se
suponía al principio.
La primera cuestión del dilema es ¿qué sucede entonces con
esa nueva información? Mi razonamiento se basa en el Axioma de Elección, el
gran `problema´ de la Axiomática de Zermelo-Frankel (AZF). Voy a tratar de
explicar el razonamiento de la forma más comprensible:
El truco, según mi criterio, está en la frase “todos y cada uno de los dragones”
de (2) porque el razonamiento de (1) lo puede hacer cualquier dragón de la isla,
sin excepción, pero como ningún dragón se ha convertido en gorrión de cola
larga, se deduce que el Axioma de Elección, incluso siendo un conjunto finito
de dragones, es aleatorio, es decir, no podemos elegir a un dragón en
particular para que realice el razonamiento de (1) porque si lo hiciera, automáticamente
vería cómo se convierten todos los demás en gorriones de cola larga, pero todos
y cada uno de ellos realizan el razonamiento de (1) y, por tanto, siguen siendo
dragones de ojos verdes y no se convierten en gorriones de cola larga.
La siguiente pregunta del dilema plantea si algo interesante
ha sucedido y la respuesta es afirmativa: todos los dragones saben que, al
menos uno de ellos, tiene los ojos verdes pero por el `fallo´ del Axioma de
Elección, no saben quien es porque, según (1), son todos los demás los que
tienen los ojos verdes ya que, en caso contrario, el elegido sabría que tiene
los ojos verdes y se convertiría en gorrión de cola larga, lo cual no sucede.
Para acabar, la nueva información que se les da a los dragones
es que cada uno sabe que los demás tienen los ojos verdes (porque se los ven, evidentemente)
pero ese `uno´ (el elegido) nunca sabrá que tiene los ojos verdes por lo que
seguirá siendo un dragón sin transformarse y, como el elegido es aleatorio, no
es fijo, todos y cada uno de los dragones de la isla nunca sabrán que tienen
los ojos verdes, a pesar de la información que se les da y, en consecuencia, la
isla seguirá siendo habitada por simpáticos dragones y no por alborotadores gorriones
de cola larga.
No sé si se ha comprendido mi idea del dilema pero me ha
dado para pensar un rato, y de eso se trata.Este tipo de cuestiones tienen que ver con las paradojas lógicas como la del examen sorpresa: supongamos que soy un profesor y les digo a mis alumnos que la semana que viene les pondré un examen sorpresa. Así, los alumnos razonan que el viernes no puede ser el examen porque, si no ha sido los días anteriores, como el viernes es el último día ya no sería sorpresa, por lo que los alumnos descartan que el examen sea el viernes de la semana que viene. Si el viernes está descartado, el último día para que el examen sea sorpresa es el anterior, el jueves pero, por el mismo razonamiento anterior, el jueves quedaría descartado. Se continúa este mismo esquema hasta descartar el miércoles, el martes y el lunes. Pero, curiosamente, llega la semana siguiente y yo, el profesor, les pongo un día cualquiera un examen y no se lo esperaban. ¿Qué ha fallado en el razonamiento de los alumnos? No ha fallado nada, lo que ha fallado ha sido el Axioma de Elección y su concepción para conjuntos finitos.
