lunes, 17 de abril de 2017

(II) Paradoja de Banach-Tarski: A Vueltas Con el Axioma de Elección



La paradoja de Banach-Tarski se enuncia así:
Si tomamos la esfera S2 (es decir, una esfera en el espacio) de radio 1 y maciza, es posible dividirla en 8 partes tales que, aplicando movimientos rígidos oportunos a 5 de ellas por un lado y las otras 3 por otro, podemos construir dos esferas de radio 1 iguales a la de partida:

 

   De hecho, el número de piezas puede reducirse hasta 5 y se puede demostrar que con 4 es imposible.
   Al leer esto, se puede pensar que nos están engañando, que en la demostración de este hecho hay alguna falacia, que mediante algún razonamiento matemático erróneo pero oculto conseguimos demostrar algo totalmente imposible. Nada más lejos de la realidad. Este hecho tiene una demostración totalmente rigurosa y sin ningún error ni engaño matemático. Por esta razón el apelativo de paradoja no es adecuado matemáticamente hablando, aunque sí lo es si atendemos a nuestra intuición.
   Por un lado, si asumimos cierto el resultado, podemos pensar en realizarlo, es decir,  tomar una esfera material de radio 1 y dividirla en las partes correspondientes para, a partir de ellas, formar las otras dos esferas. Quitémonos esa idea de la cabeza: no se puede hacer en el mundo real ya que una de las piezas está formada sólo por un punto y físicamente hablando el concepto geométrico de punto no es real.
   Por otro lado, podríamos decir: es imposible porque el volumen final es el doble del inicial, es decir, que si las esferas fueran materiales, nos estaríamos saltando el principio de conservación de la materia. Acabamos de decir que el resultado no se puede comprobar en la realidad pero, de todas formas, el tema del volumen matemáticamente hablando parece que sigue siendo un problema ya que los movimientos rígidos deben conservarlo. Para darse cuenta de que tal problema no existe tenemos que recurrir a la llamada ‘teoría de la medida’. Esta teoría es la que se encarga de asociar una medida a cada conjunto, en nuestro caso el volumen. La cuestión entonces es que las partes en las que dividimos la esfera son conjuntos no-medibles (hay algunos, por ejemplo, los llamados conjuntos de Vitali). No es que tengan medida 0, sino que no se pueden medir, que no es lo mismo. Es decir, no se les puede asociar una medida y por tanto no podemos apelar a la conservación de la medida por movimientos rígidos. Intuitivamente es complicado entender pero matemáticamente es totalmente cierto. La existencia de estos conjuntos no-medibles se prueba utilizando mi admirado (ironía) ‘axioma de elección’. El uso de este axioma imposibilita describir explícitamente lo que se está analizando, de ahí su controversia…
   La demostración del resultado que nos ocupa, está basada en las propiedades de los giros del espacio y utiliza varias afirmaciones potentes, entre ellas una de Hausdorff relativa a los giros y el axioma de elección. Es bastante engorrosa para el lector poco iniciado e, incluso, para los que llevamos las matemáticas en los genes y no merece la pena ponerla en esta entrada. Lo bueno que tiene es que es constructiva, es decir, no nos demuestra que el resultado es cierto mediante razonamientos que nada tienen que ver con el mismo, si no que nos dice exactamente cómo tenemos que dividir la esfera.
   Otra conclusión a partir de este resultado es la siguiente: se puede tomar una esfera maciza del tamaño de la Tierra, dividirla en un cierto número finito de partes y después de aplicarle movimientos rígidos oportunos a las mismas, formar una esfera maciza del tamaño del Sol. Matemáticamente hablando, se puede.